Préchauffez votre four à 200°C (thermostat 6-7). Lavez et émincez finement les poireaux. Dans une poêle, chauffez l'huile d'olive à feu moyen. Ajoutez les poireaux et faites-les cuire pendant environ 10 minutes jusqu'à ce qu'ils soient tendres et légèrement caramélisés. Ajoutez le miel, mélangez bien et assaisonnez avec du sel et du poivre.
Déroulez la pâte feuilletée sur une plaque de cuisson recouverte de papier sulfurisé. Piquez-la légèrement avec une fourchette pour éviter qu'elle ne gonfle trop à la cuisson.
Répartissez les poireaux caramélisés sur la pâte, en laissant une petite bordure tout autour. Ajoutez des morceaux de chèvre frais par-dessus et parsemez de quelques brins de thym.
Enfournez la tarte pendant environ 20 minutes ou jusqu'à ce que les bords soient bien dorés et croustillants. Sortez du four et laissez tiédir avant de servir.